How to solve hyperbolic function?

As with trig functions, hyperbolic functions can be used in equations. To solve, convert the hyperbolic function into its exponential equivalent and solve as an exponential equation .

What class teaches hyperbolic functions?

The hyperbolic functions are certain combinations of the exponential functions e x and e – x . These functions occur often enough in differential equations and engineering that they're typically introduced in a Calculus course .

Is tanh an injective?

Note that as the real hyperbolic tangent tanh is injective , its inverse is properly a function on its domain.

What is the hyperbolic formula?

The hyperbolic sine and cosine are given by the following: cosh ⁡ a = e a + e − a 2 , sinh ⁡ a = e a − e − a 2 .

What are the six basic hyperbolic functions?

There are six hyperbolic functions are sinh x, cosh x, tanh x, coth x, sech x, csch x . In this article, we will define these hyperbolic functions and their properties, graphs, identities, derivatives, etc.

What is hyperbolic geometry for dummies?

In hyperbolic geometry, two parallel lines are taken to converge in one direction and diverge in the other . In Euclidean, the sum of the angles in a triangle is equal to two right angles; in hyperbolic, the sum is less than two right angles.

What are the 4 models of hyperbolic geometry?

There are four models commonly used for hyperbolic geometry: the Klein model, the Poincaré disk model, the Poincaré half-plane model, and the Lorentz or hyperboloid model .

What is the point of hyperbolic functions?

Hyperbolic functions occur in the calculations of angles and distances in hyperbolic geometry . They also occur in the solutions of many linear differential equations (such as the equation defining a catenary), cubic equations, and Laplace's equation in Cartesian coordinates.

The advantage of the tanh is that its range is between [-1:1] not [0:1] like in the sigmoid . However, when using an activation function for the output layer in a binary classification problem, it is more conventional to use the sigmoid function, as you only have labels of 0 and 1.

Is tanh always positive?

The tanh function outputs values in the range of -1 to +1 . This means that it can deal with negative values more effectively than the sigmoid function, which has a range of 0 to 1.

What is the solution of a hyperbolic equation?

The solutions of hyperbolic equations are " wave-like ". If a disturbance is made in the initial data of a hyperbolic differential equation, then not every point of space feels the disturbance at once. Relative to a fixed time coordinate, disturbances have a finite propagation speed.

What is the equation for the hyperbola function?

The hyperbolic function of the form y=a(x+p)+q . We know that the value of q in y=ax+q y = a x + q shifts the graph vertically up or down.

How do you find the hyperbolic equation?

The equation of a hyperbola written in the form (x−h)2a2−(y−k)2b2=1 . The center is (h,k), a defines the transverse axis, and b defines the conjugate axis. The equation of a hyperbola written in the form (y−k)2b2−(x−h)2a2=1. The center is (h,k), b defines the transverse axis, and a defines the conjugate axis.

What is the formula for hyperbolic transformation?

Summary: The hyperbola given by $$ y = a x − h + k can be thought of as the basic rectangular hyperbola $$ y = a x translated horizontally (parallel to the $$ x axis) a distance of $$ h units and translated vertically (parallel to the $$ y axis) a distance of $$ k units.

Tangens Hyperbolicus | Maths2Mind (2024)

Hyperbelfunktionen

Die hyperbolischen Funktionen auch Hyperbelfunktionen genannt sind bestimmte Kombinationen der natürlichen Exponentialfunktionen e^x und e^-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen.

$\begin{array}{l} \sinh x = \dfrac{1}{2}({e^x} - {e^{ - x}}) = - i \cdot sin\left( {ix} \right)\\ \cosh x = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) = \cos (ix)\\ \tanh x = \dfrac{{\sinh \,x}}{{\cosh \,x}} = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\\ \coth x = \dfrac{{\cosh \,x}}{{\sinh \,x}} = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}} \end{array}$

Kostruktion von sinh und cosh an der Einheitshyperbel

Vergleichbar dazu, wie sich die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis herleiten lassen, lassen sich die Hyperbelfunktionen an der Einheitshyperbel herleiten. Der Ausgangspunkt ist die Einheitshyperbel in 1. Hauptlage mit Halbachsenlängen a und b. Die Asymptoten haben die Steigungen$\dfrac{b}{a}{\text{ bzw}}{\text{. - }}\dfrac{b}{a}$.Die Brennpunkte liegen auf einem Kreis mit dem Radius$r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $.

Für dieKoordinaten x bzw. yeines auf der Einheitshyperbel liegenden Punktes P gilt dabei folgender funktionaler Zusammenhang zur blau markierten Fläche:

$\eqalign{ & x = \cosh \left( A \right) \to A = \operatorname{arcosh} \left( x \right) \cr & y = \sinh \left( A \right) \to A = ar\sinh (x) \cr} $

Area leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) des blau markiertenHyperbelsektors ab.

Einige Notationen zurEinheitshyperbel

$\eqalign{ & \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \cr & a = b = 1 \cr & \dfrac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1 \to {x^2} - {y^2} = 1 \cr & r = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 = 1,414 \cr} $

Illustration der Einheitshyperbel

Geogebra Befehl Hyperbel

Die Konstruktion selbst erfolge mit dem Geogebra Befehl Hyperbel

Hyperbel( <Brennpunkt>, <Brennpunkt>, <Halbachsenlänge> )
Hyperbel((-1.414, 0), (1.414, 0), 1)

Zusammenhang coshx undsinhx mit der Eulerschen Funktion

Man kann für coshx und sinhx folgende einfache Zusammenhänge angeben

$\begin{array}{l} \cosh x + \sinh x = {e^x}\\ \cos hx - \sinh x = {e^{ - x}}\\ \cos {h^2}x - {\sinh ^2}x = 1 \end{array}$

Kettenlinie

Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ etwa beim Durchhang von Leiterseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast. Die Funktion coshx wird auch als Kettenlinie bezeichnet.

Eine an zwei Punkten aufgehängte und dazwischen durchhängende Kette, nimmt diese Kettenlinienform an. Die Form der Kettenlinie hängt von der Lage der beiden Aufhängepunkte und der Länge der Kette ab, sie ist aber unabhängig vom auf die Länge bezogenen Gewicht der Kette. (also von deren Material.)

Beispiel:
Durchhang von einem Leitungsseil zwischen zwei Masten

Gegeben sei ein Seil der Länge 2l=52,96m. Achtung, die Länge vom Seil ist 2l und nicht l !
Die beiden Aufhängepunkte haben einen Abstand 2b=40m. Achtung, der Abstand ist 2b und nicht b!
Die beiden Aufhängepunkte befinden sich in einer Höhe h=40m über Grund. Achtung, die Höhe ist h und nicht 2h !

Die Kettenlinie f(x) nimmt dann folgende Form an
$y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \dfrac{b}{a} + a \cdot \cosh \dfrac{x}{a}$

Der Seilparameter a ist durch Iteration etwa mit Hilfe des Newtonschen Näherungsverfahren mit Hilfe der nachfolgenden Beziehung zu bestimmen:
$2l = 2a \cdot \sinh \dfrac{b}{a}$

in unserem Beispiel ergibt sich a gemäß
$a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15$

Probe:
$l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m$

Für den Durchhang d gilt:
$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a{\text{ vorausgesetzt: }}d = h - f\left( 0 \right)$
in unserem Beispiel ergibt sich d gemäß
$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$

Illustration zum Beispiel für die Berechnung vom Durchhang eines Leiterseils zwischen zwei Masten

Areafunktionen

Area Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Area leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab.

Hyperbelfunktionen: Funktionen, die sich aus einfachen Exponentialfunktionen zusammensetzen	Areafunktionen: Funktionen, die durch den natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden
$\sinh x = \dfrac{1}{2}({e^x} - {e^{ - x}})$	${\mathop{\rm arsinh}\nolimits} \left( x \right) = \ln (x - \sqrt {{x^2} + 1} $
$\cosh x = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)$	$\operatorname{arcosh} \left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right){\text{ für }}x \geqslant 1$
$\tanh x = \dfrac{{\sinh \,x}}{{\cosh \,x}} = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}$	${\mathop{\rm artanh}\nolimits} \left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right){\rm{ für }}\left\| x \right\| < 1$
$\coth x = \dfrac{{\cosh \,x}}{{\sinh \,x}} = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}$	${\mathop{\rm arcoth}\nolimits} \left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right){\rm{ für }}\left\| x \right\| > 1$

Hyperbelfunktionen: Funktionen, die sich aus einfachen Exponentialfunktionen zusammensetzen	Areafunktionen: Funktionen, die durch den natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden
\(\sinh x = \dfrac{1}{2}({e^x} - {e^{ - x}})\)	\({\mathop{\rm arsinh}\nolimits} \left( x \right) = \ln (x - \sqrt {{x^2} + 1} \)
\(\cosh x = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\)	\(\operatorname{arcosh} \left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right){\text{ für }}x \geqslant 1\)
\(\tanh x = \dfrac{{\sinh \,x}}{{\cosh \,x}} = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)	\({\mathop{\rm artanh}\nolimits} \left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right){\rm{ für }}\left\| x \right\| < 1\)
\(\coth x = \dfrac{{\cosh \,x}}{{\sinh \,x}} = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\)	\({\mathop{\rm arcoth}\nolimits} \left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right){\rm{ für }}\left\| x \right\| > 1\)